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    北京師范大學(xué)概率論研究群體已有50余年的傳統(tǒng)，經(jīng)過嚴(yán)士健和王梓坤及幾代人的努力，至2001年，已在交互作用粒子系統(tǒng)、測度值隨機(jī)過程、馬爾可夫過程的譜理論等方面取得系統(tǒng)的研究成果，并有相當(dāng)?shù)膰H影響。這個(gè)僅有12人的團(tuán)隊(duì)，在國際上被稱為“馬氏過程的中國學(xué)派”或“北京學(xué)派”。

    自2002年起，該群體得到國家自然科學(xué)基金委創(chuàng)新研究群體基金長達(dá)9年的資助。學(xué)術(shù)帶頭人、北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授陳木法回憶道，當(dāng)年申請這一基金時(shí)，他一度認(rèn)為他們這樣的“小學(xué)科、小團(tuán)隊(duì)”不太可能獲得國家重大項(xiàng)目的支持。“當(dāng)?shù)玫劫Y助的消息傳來時(shí)，全體成員高興的同時(shí)更多是感慨，須知當(dāng)時(shí)我們處于非常的困難時(shí)期，這項(xiàng)資助真是雪中送炭。”陳木法說。

    正是在該基金的支持下，這一團(tuán)隊(duì)以“探索與概率論相關(guān)的無窮維數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，特別是尋求新的數(shù)學(xué)工具和方法”為主要目標(biāo)，取得更大的研究成果和可喜的新進(jìn)展。

    無窮維給研究工具帶來了巨大的挑戰(zhàn)，許多在有限維非常有力的工具對無限維不再適用，需要探索和發(fā)展新的研究工具。然而，無窮維與有限維之間有著天然的聯(lián)系，特別是與分析、幾何、譜理論等緊密交融。在這一背景下，該群體發(fā)展了涉及多個(gè)領(lǐng)域的耦合方法、泛函不等式和斜卷積半群等代表性工具，且在馬氏過程的穩(wěn)定性、新型Harnack不等式及應(yīng)用、測度值過程的遍歷性、排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)與反應(yīng)擴(kuò)散過程等方向的研究中取得了系統(tǒng)的成果，得到同行的大量引用。

    馬氏過程穩(wěn)定性速度是群體研究的中心課題。“與先前馬氏過程定性理論的研究不同, 我們從事的定量研究遠(yuǎn)為艱難，可視為馬氏過程發(fā)展的新階段。”陳木法說，其研究的范圍是全方位的：離散或連續(xù)，無邊界或帶邊界，凸或非凸邊界，有限維或無窮維，遍歷或非遍歷，指數(shù)式或非指數(shù)式收斂等等，涉及概率、分析、幾何、物理、排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)等多個(gè)領(lǐng)域，獲得各種穩(wěn)定性的關(guān)系圖、主特征值的對偶變分公式、顯式判別法和顯式估計(jì)等系統(tǒng)成果。

    該群體的第二大成果是，在隨機(jī)分析與幾何領(lǐng)域，發(fā)展了耦合方法,建立了與維數(shù)無關(guān)的Harnack不等式；進(jìn)一步應(yīng)用到強(qiáng)Feller性、概率密度估計(jì)、各種超壓縮性以及泛函不等式、傳輸不等式的研究。該方法比已有的分析與概率方法具有更廣的適用范圍。獲得帶邊流形上第二基本型的漸近公式，刻畫了該幾何量所確定的反射擴(kuò)散，過程的分析性質(zhì)，引發(fā)了關(guān)于Neumann半群的一系列新成果；特別是對于非凸情形，給出了對數(shù)Sobolev不等式的顯式判別條件。在流形的路徑空間上構(gòu)造了一大類帶一般擴(kuò)散系數(shù)的擴(kuò)散過程；首次在跳過程的路徑空間上建立了Poincaré不等式。

    而在粒子系統(tǒng)與測度值分枝過程研究中，該團(tuán)隊(duì)證明了隨機(jī)環(huán)境分枝粒子系統(tǒng)的極限定理，在此模型和仿射金融模型之間建立了聯(lián)系。證明任何具有一階矩的仿射過程都是正則的。證明了一般分枝機(jī)制的Dawson-Watanabe超過程分布的絕對連續(xù)性和超Lévy過程的瞬時(shí)傳播性質(zhì)。在帶跳隨機(jī)方程的Yamada-Watanabe判據(jù)、解的比較定理等問題的研究上取得了實(shí)質(zhì)性進(jìn)展，由此證明了廣義Fleming-Viot隨機(jī)流的強(qiáng)存在性。在有限跳幅隨機(jī)環(huán)境隨機(jī)游動(dòng)中找到了分枝結(jié)構(gòu)，得到了若干極限定理。建立了幾類測度值過程的極限定理、中偏差和大偏差原理。

    創(chuàng)新成果的取得極大提高了我國概率論研究在國際上的地位。9年中，群體參與組織了中國概率統(tǒng)計(jì)年會(huì)、中美概率統(tǒng)計(jì)聯(lián)合研討會(huì)等會(huì)議，特別是群體組織了7屆“馬氏過程及相關(guān)論題”國際研討會(huì)，吸引了來自近20個(gè)國家和地區(qū)的名家及大批中青年專家前來參會(huì)。群體還邀請了3位客座教授，為來自全國各地的研究生和青年教師開設(shè)前沿短課，邀請百余人次專家前來訪問講學(xué)，為推動(dòng)我國概率論的發(fā)展做出了極大的努力。

    此外，該群體與法國布爾戈尼大學(xué)、德國比勒菲爾德大學(xué)和加拿大McMaster大學(xué)開展了博士生聯(lián)合培養(yǎng)計(jì)劃，群體成員經(jīng)常到國內(nèi)其他大學(xué)和國外科研院所訪問或參加學(xué)術(shù)會(huì)議。通過“請進(jìn)來、走出去”，研究群體建立起與國內(nèi)外同行合作交流的平臺(tái)，奠定了進(jìn)一步發(fā)展的基礎(chǔ)。在前沿短課講義的基礎(chǔ)上，客座教授方詩贊和馮水分別出版了兩本專著，至此，在施普林格出版社《概率論及其應(yīng)用》叢書已出版的33本專著中，有3本書的作者來自這一群體。

    據(jù)該群體成員介紹，帶交互作用的無窮隨機(jī)系統(tǒng)這一所研究的課題相關(guān)研究目前在國際上的競爭非常激烈，而該領(lǐng)域研究涉及多個(gè)學(xué)科和領(lǐng)域，靠單兵作戰(zhàn)不可能完成，必須采取群體形式的戰(zhàn)略攻關(guān)。“因而，創(chuàng)新群體基金長達(dá)9年的資助，激發(fā)了群體成員拼搏進(jìn)取的極高熱情，我們團(tuán)結(jié)協(xié)作，才有了今天的成果。”他們?nèi)缡钦f。

    群體名片

    “概率論創(chuàng)新研究群體”：陳木法，王鳳雨，李增滬，張余輝，毛永華，洪文明，王穎喆，張梅，邵井海，馬宇韜，何輝。該群體圍繞“探索與概率論相關(guān)的無窮維數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，特別是尋求新的數(shù)學(xué)工具和方法”，在馬氏過程穩(wěn)定性速度、隨機(jī)分析與幾何和測度值過程等方面取得了相當(dāng)數(shù)量的成果，其中不乏原創(chuàng)的新發(fā)現(xiàn)和新方法，被國際同行高度評(píng)價(jià)和大量引用。