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程娟 （1984-）

女，湖北黃岡人，碩士研究生，研究方向為切換系統、時滯依賴、極點配置、魯棒控制。

摘要：本文研究了一類具有圓盤極點約束的不確定線性切換系統的魯棒鎮定問題.對此類系統設計了狀態反饋控制器，使得閉環系統的所有極點均位于一個給定的圓盤中，并得到了一個基于LMI的充分條件.通過求解線性矩陣不等式，可以構造一個具有較小反饋增益參數的狀態反饋控制器.最后的仿真算例證明了本文結果的有效性。

關鍵詞：切換系統；魯棒控制；極點配置；狀態反饋

Abstract: The robust stabilization for uncertain linear switched systems with disk polo
 constraints is studied in this paper,. State feedback controller is designed so that the
poles of the closedloop system can be assigned in a prespecified disk. A sufficient 
condition based on LMI is therefore obtained. The problem of designing the controllers with
 smaller gain parameters is solved based on LMI conditions. The simulation shows the 
validity of the results.

Key words: switched systems; robust control; pole assignment; state feedback

1 引言

    切換系統由于其廣泛的應用背景得到了極大的關注，主要集中在切換系統的穩定性和魯棒鎮定問題的研究上，對閉環系統設計反饋控制器的一個基本要求就是將極點配置在指定的位置上，從而保證閉環系統的動態性和穩定性。近年來對具有極點約束的不確定系統的研究已經有很多結果成果[1-3]，文獻[5]將一類不確定閉環系統的極點配置在一個給定圓盤中，并設計狀態反饋控制器，文獻[6]討論了一類具有閉環極點約束的線性離散系統的輸出反饋控制問題，文獻[7]利用狀態反饋的方法得到了極點在橢圓形區域中的不確定線性系統的充分條件。這幾篇文章討論的都是一般系統，未涉及到切換系統。

    本文研究了一類不確定切換系統，將其閉環系統的極點配置在一個給定的圓盤中，并設計了無記憶狀態反饋控制器，最后采用基于LMI的處理方法得到了狀態反饋控制器存在的條件和反饋增益參數.

2 問題描述

    考慮如下的一類不確定切換系統

    （1）
   
    其中， 是系統的狀態向量，是系統的控制輸入，是系統的控制輸出，是外部擾動，，，，，是已知的具有適當維數的實常數矩陣，，分別是狀態向量和控制輸入的不確定項，且滿足下面的形式

       （2）

   其中是具有適當維數的實常數矩陣，是滿足 的未知矩陣，表示復平面上單位圓內中心在 ，半徑為 的圓盤，其中和滿足 [8]。

    下面首先研究系統(1)的標稱系統

        （3）

    本文的目的是設計一個無記憶狀態反饋控制器

                        （4）

    使得對所有允許的擾動，閉環系統

        （5）

    具有以下性質：

    i) 所有閉環極點均位于預先給定的中心，半徑為，且滿足的圓盤中；

    ii) 從外部擾動 到被控輸出的傳遞函數，滿足，其中。

    這樣的一個問題就稱為是系統（3）的魯棒 鎮定問題，控制器（4）稱為系統（5）的一個穩定控制器。

    引理1給定矩陣，以及適當維數的矩陣， 則 。對任意滿足 的 成立的充要條件是存在，使得 。

    引理 2[4] 對給定單位圓內的圓盤和正常數，如果存在一個對稱正定矩陣，使得

        （6）

    其中，，則系統（5）具有性質i)和ii)。

3 主要結論

    對系統（1）的標稱系統（3）有如下的結論

    定理1對給定單位圓內的圓盤和正常數，如果以下不等式成立

        （7）

    （*表示關于對角線的對稱矩陣）當（7）式存在解和 時，，，則系統（5）存在具有穩定控制器（4）。其中
   
    ，
    證明：對不等式（6）中的第一個不等式代入和 的表達式，經整理并利用矩陣的Schur補性質可得到如下等價不等式

        （8）

    其中，

    代入和 的表達式，可知不等式（8）是非線性的，為了將非線性不等式（8）轉換成線性不等式，于是對不等式（8）左乘和右乘矩陣，并令， 即可得到不等式（8）等價于不等式（7），于是定理1得證。

    下面考慮不確定線性切換系統（1），同理，對系統（1）設計一個無記憶狀態反饋觀測器

        （9）

    則得到的閉環系統為

        （10）

    于是，對系統（10）我們有如下的結論

    定理 2對給定單位圓內的圓盤和正常數和 ，如果以下不等式成立

    （11）

    當（11）式存在解和時，，，則系統（1）存在具有穩定控制器（10）。其中
    ， 
    ，。

    證明：對定理2的證明，只需將定理1中的用代替，并運用引理1，結合矩陣的Schur補性質，即可得到結論，在此略去。

4 數值算例

    下面給出一個簡單的系統（1）的標稱系統的數值算例。

    對于系統（3）
    ；；；；；
    ；；；；；
   

                                                圖1

    取， ，，根據定理1利用MATLAB求得

     ；

     ；

     ；

    該系統在初始狀態 和切換規則為1秒切換一次，應用定理1，可以得到把各子系統極點配置在內且漸近穩定的結果，系統狀態如圖1所示。

5 結論

    本文研究了一類不確定切換系統具有圓盤極點約束的魯棒控制問題，設計了狀態反饋控制器，使得閉環系統的極點都配置在制定的圓盤區域內，得到了基于LMI的狀態反饋存在的充分條件，并通過MATLAB求解出了反饋增益參數，最后給出了一個具有兩個子系統的切換系統的仿真數例，其結果證明了本文結論的有效性。



參考文獻

[1] Wassim M. Haddad, Dennis S. Bernstein. Controller design with regional pole constraints
 [J]. IEEE Trans on Automatic Control. 1996，41(3): 358-366.

[2] Mahmoud Chilali, Pascal Gahinet.  design with pole placement constraints: An LMI 
Approach [J]. IEEE Trans on Automatic Control.1996，41(3): 358-366.

[3] Byung Soo Kim, Hyung Seok Han, Jang Gyu Lee. Pole placement of uncertain discrete
 systems in the smallest disk by state feedback[C]. Proceedings of the 35th Conference on Decision and Control. 1996，4558-4563.

[4] Xu ShengYuan, Yang ChengWu, Zhou ShaoSheng. Robust control for uncertain discrete-time systems with circular pole constraints [J]. Systems &Control Letters. 2000，39(1):13-18.

[5] 俞力，陳國定，楊馬英. 不確定系統具有圓盤區域極點約束的魯棒控制 [J]. 自動化學報. 2000，26(1):116-120.

[6] 俞力，楊海清. 線性離散系統具有閉環極點約束的輸出反饋控制[J]. 控制理論與應用. 2003，20(5): 773-775.

[7] 王天波，張學山，方濤. 具有區域極點約束的不確定系統的魯棒控制[J]. 上海工程技術大學學報[J]. 2007，21(1): 69-72.

[8] 俞力. 魯棒控制: 線性矩陣不等式處理方法[M]. 北京: 清華大學出版社，2002.